文｜脑极体

为了挽救在“抛家弃子”边缘疯狂试探的家长们，不少K12教育平台与时俱进，相继将人工智能加入了数学辅导豪华服务套餐。

在各种新闻中，AI数学老师的画风往往是这样的：

羞辱学渣——只用10分钟作答2017高考数学全国II卷，拿下100分（总分150分）， “蒙题”都没这么快；

碾压学霸——在日本的大学入学标准考试、SAT等各国“高考”中拿到了超过平均分的成绩，向状元挺近；

取代人类教师——可以依据人为输入的打分条件，对照答案，在瞬间判断正误。效率比人类判卷老师高出好几个指数级不说，失误率也更低。

想必令不少家长都心动了吧。在这里，我们要扫兴地说出一个真相——即使是目前最先进的人工智能系统，数学水平恐怕连高中生都比不上。

DeepMind亲自打脸：AI是个数学渣？

这年头，靠AI判卷打分已经不是什么新鲜事了，给张标准答案小学生都能干。但靠AI教做数学题，就很有技术含量了，考验的则是阅读、推理、计算、逻辑等等综合能力，最起码也得是个“新西方”名师上阵吧。

如果用后者的课时费，请小学生来帮辅导作业，显然大家都会认为是开玩笑。但要是把小学生换成AI，反而令家长们“不明觉厉”喜掏腰包了。

不过，DeepMind的最新研究结果表明，即使是目前最先进的AI系统，做起数学题来连普通高中生都比不过，是不是有点幻灭？

事情是这样的，DeepMind参考英国16岁学龄儿童的数学考试，为AI（深度神经网络）打造了一个包含200万道题目的题库，涵盖了算术、代数、概率、微积分等各种题型，并派出了循环神经网络 (RNN) 和Transformer两位当下性能最先进的模型参与测试。

结果发现，除了四舍五入、加减法、比较大小、数字排序等等简单问题之外，在一些涉及因式分解、混合计算之类的高级题目上，AI的表现都不如人类高中生，连及格线都没达到。

到底咋回事，看看它们是怎么做题的就知道了。

LSTM和Transformer架构都包含一个编码器和解码器。不过在具体运算逻辑上，LSTM会将问题编码为一系列由键和数值代表的具体位置（41+132），然后解码器将下一个字符预测并映射出来（173）。

由于有注意力机制的参与，LSTM能够预先处理一些逻辑上需要先完成的对象，比如知道在计算8 /（1 + 3）时，应该先算出（1 + 3），这已经有点接近人类进行运算时的推理步骤了。

Transformer的不同之处在于，它的编码器能够把数学题转换成一个长度相同的序列， 然后通过注意力机制与位置完全连接的层嵌入任意数学表达式，然后进行转换。

这样做的好处是，Transformer能够使用相同数量的参数进行更多的计算（改变嵌入函数就可以了），同时拥有了连续的“内部记忆”，在处理包含多层级、关联性的混合运算时更有优势，能够在更长的序列上给出正确答案。

计算方式搞清楚了，那么两位模型的最终成绩如何呢？

答案是，非常惨。Transformer模型只答对了14/40个问题，也就相当于E级水平。相比之下LSTM的分数就更惨不忍睹了，放在人类学生身上绝对是要被叫家长的节奏。

（图为各个模型处理的参数规模和平均正确率）

AI学数学，到底难在哪儿？

一度在计算能力、决策效率上被AI按在地板上摩擦的人类，总算在数学上挽尊了，DeepMind可算也打脸一次AI了。不过，沾沾自喜不是重点，重点是如果要为AI建立一本数学错题集的话，这次实验究竟有哪些值得被记住和补上的短板：

其一是记性太差。

尽管研究人员引入了LTSM和transformer，这是两个在处理机器翻译等序列问题时表现优异的拳头选手，但依然抵不住数学问题的复杂性和语言多样性的压力。在一些需要中间值计算的模块中，比如因式分解、多项式函数等等，系统在进行“思考”时记忆力明显不够用，符号的迁移性和知识的扩展性也因此大受影响，直接影响了结果的准确性。

比如Transformer在计算单纯的加减法或乘除法时，准确率高达90%，一旦加减乘除混合在一起，它就有点搞不清先后顺序了，正确率就下降到只有50%。这表现连计算器都比不上，说明一旦要拼记性、背函数，机器就比不上人类了。

另外，有算力，没知识。

人类在解决数学问题时，应用到的不只有计算能力，还有各种各样的认知技能。比如理解题干，需要将文字或图标转换为算术运算符；确定解题思路，需要进行推理，从已知的公理中找到最佳策略；具体的运算过程中，必须利用工作记忆来完成运算；保持成绩的稳定性，就需要将已学到的知识和规则迁移到同一类型的问题中去……

显然，神经网络还没有办法在“举一反三”的能力上与人类一较高下，它只能处理一些内部存储的问题，无法超越已有的环境去理解新的东西。具体到各个实验项目中， 知识迁移能力越强的模型，在统一数据集上的数学成绩也就越好。

这些短板归根结底，是由数学问题和工程效率的矛盾所导致的。

数学的本质是演绎证明，往往需要架设问题并根据已知抽象出新概念，根据需要提出新的公理体系。这是一个基于推断的极其复杂的“规则游戏”。

而机器的计算模式则是遍历型、经验型的，即通过大规模数据来穷尽所有可能。

用DeepMind研究人员的话来说，数学包含了一个“自洽的宇宙”（self-consistent universe），“简单的AI系统”想要挑战数学命题，显然不太可能。

以“博雷尔-确定性”（Borel-determinacy）为例，虽然只是一个二阶算术命题，但其证明却需要用到无穷阶的算术。想要解决此类问题，就必须把AI系统设计得足够宽泛，以至于能包容绝大部分数学运算。这时的规则量级与复杂性，就不是围棋这种程度可比的了，而可能是在1T个2^中寻找一个最优决策。这时候AI的对手就不是数学，而是资源、金钱与时间了。

AI解题：到底应该怀抱怎样的理想期待

说了这么多，用数学水平作为AI的“智商鉴定器”显然有失偏颇，AI也不可能帮助人类解决那些数学领域的未解之谜。既然如此，让AI学数学的意义到底是什么？或许我们必须重新理解二者的关系。

从当前背景来看，提高AI的数学能力大概有两方面的积极作用：

一个是技术层面的，人工智能本质上就是一个将数学、算法和工程实践紧密结合的领域，对数学的探索有利于推动AI技术的全面进步。

举个例子，早在1964年，就有科学家试图让计算机做数学题了，当时提出的STUDENT（Bobrow 1964）系统，就是输入一段规定好描述方式的数学题，然后把自然语言（linguistic form）通过模式匹配映射到对应的函数关系表达。就像把“笼子里有一只鸡和一只兔，问笼子里一共有几只动物”转换成“1+1=？”。这说明，数学要取得好成绩，先得自然语言阅读理解能力过关。

举个例子，就因为没有办法将复杂的题目转换成规范化的数学语言，国立情报学研究所不得不在2016年放弃让人工智能系统Torobo-kun参加东京大学入学考试，2017年中国的“高考机器人” (863计划中的类人智能项目)在对战真人（43名高三文科班学生）时，也以低于人类平均分的成绩落败。

除了文字题干之外，有的题目还会涉及语音识别、图像识别（看图解题）等技术能力。换句话说，想要搞定数学题， 语文课、逻辑课，一科都不能偏！

另一个可能受益的则是社会层面的，针对数学的研究成果，能够有效提升各个人工智能系统在理科解题上的弱势，直接提高知识引擎的性能与效率。

尤其是现在包括综合搜索、XX搜题等在内的各类知识问答平台，已经成为为人们答疑解惑的主要工具。数学解题系统更成了K12教育争先恐后推出的“杀手锏”。但想要提供高品质的数学搜索服务，比如输入数学题，就能精准还原出数学模型、解题步骤以及答案，并不是一件简单的事。

前面我们也说过，数学问题并不仅仅只考验计算能力，还涉及泛化知识库的大量规则，比下围棋的黑白子规则可复杂多了，有时还要面对价值观、意识形态、艺术等很多不可量化的东西。平台们预先内置的数学知识模型在越来越数字化的学习方式面前，搜不到、不匹配、答案“略”，甚至直接用习题册答案凑数的情况，也已经屡见不鲜。

更有甚至，一旦用户输入的问题不符合预定义的模式匹配规则，可能机器就会开始“误人子弟”瞎答了。

如果解题类应用的数学水平始终在及格方面徘徊，连看懂题和正确率都无法保证，还怎么能指望AI系统从学生们的答卷中分析出失分原因并指导其进一步学习呢呢？？所谓的靠它降低学习门槛、实现教育普惠和公平，显然也只能停留在幻想层面。

提升AI模型的数学能力，进而增强搜题模型的整体性能，对于众多互联网教育平台和家长考生们来说，意义自然是重大的。

同时，数学本身也是学习（包括机器学习）的起点。

尽管大多数数学问题无法直接被应用，但在寻求验证和推理的过程中，往往会诞生的更强大的推理模型，为更高的机器智能打下坚实的基础。

举个例子，MIT 于2014年在ACL上提出了一种基于统计学习的方法KAZB，根据公式的标注把数学题归类成不同的题型，抽取题目中不同层次的特征，来自动判断题型。

该方法的缺点则是系统没有办法识别出训练集之外的题型。为了解决这个问题， 百度和微软的研究团队分别进行了优化和改进，实现了10%左右的性能提升。

换句话说，提高神经网络的数学能力，虽然不是全部，但却能够为机器推理能力打下坚实的基础。这就像人类小孩学习“鸡兔同笼”一样，不是真的为了方便在成年后数清楚鸡和兔子，而是在这个过程中逐渐学会用一种新的思维模式去理解和认知世界。

或许等到那一天，我们需要担心的就不是机器会做错题，而是人类将无题可做了……